Materi ukuran sudut: derajat dan radian

PENGERTIAN SUDUT

Siapa di antara kalian yang telah mengetahui tentang apa yang disebut dengan sudut?

Apabila kalian belum mengetahuinya, mari kita gambar sinar garis AB, kemudian memutar sinar garis tersebut dengan titik A sebagai pusat perputaran. Kalian cukup memutarnya sampai kedudukan tertentu, kemudian namai sinar garis hasil perputaran tersebut dengan AC. Daerah yang dibentuk oleh dua sinar garis inilah yang dinamakan dengan sudut. Agar lebih jelas, perhatikanlah gambar berikut.

Dalam gambar di atas, sinar garis AB dan AC disebut kaki sudut dan titik potong kedua sinar garis, yaitu titik A disebut titik sudut.
Perlu kalian ketahui, penamaan sebuah sudut dapat dilakukan dengan berbagai cara, yaitu:

• diberi nama sesuai nama titik sudut → ∠A, ∠B, ∠C
• diberi nama dengan menggunakan simbol atau angka → α, β, ∠1, ∠2
• penamaan sudut dengan menggunakan tiga huruf, yang terdiri atas titik-titik pada kaki sudut dan titik sudut, dimana titik sudut dituliskan di tengah → ∠BAC, ∠CAB

Nah, dalam gambar di atas, sudut yang terbentuk adalah ∠BAC = ∠CAB = ∠A = α.

Mari kita kembali lagi ke awal. Pada saat kalian memutar sinar garis AB, kalian dapat memutarnya searah atau berlawanan arah dengan arah putar jarum jam.
Apakah kalian tahu pengaruh arah putar terhadap nilai sudut yang terbentuk?

• Jika arah putar berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, maka sudut yang terbentuk bernilai positif
• Jika arah putar searah dengan arah putar jarum jam, maka sudut yang terbentuk bernilai negatif

Untuk lebih jelasnya, mari perhatikan gambar berikut ini:

SATUAN BESAR SUDUT

Ada tiga macam satuan besar sudut, yaitu yang mengacu pada sistem sentesimal, sistem seksagesimal, dan sistem radian. Meskipun dalam pembelajaran kalian di kelas hanya mempelajari besar satuan sudut dalam sistem seksagesimal dan sistem radian, topik ini juga akan membahas besar sudut dalam sistem sentisemal sebagai tambahan wawasan.
Lebih lanjut, dalam sistem seksagesimal kalian nanti akan mengenal adanya istilah menit dan detik. Penggunaan menit dan detik jangan dirancukan dengan satuan waktu, karena selama ini menit dan detik lebih banyak digunakan sebagai satuan waktu.

Sistem Sentisemal

Sistem pengukuran sentisimal sering disebut sistem Perancis. Sistem sentisemal digunakan pada instrumen astronomi, peneropongan bintang, maupun teodolit. Dalam sistem ini, sebuah lingkaran penuh dibagi menjadi 400 bagian yang sama, selanjutnya setiap bagian tersebut disebut grad dan satu putaran penuh disebut 400 grad. Adapun penamaan untuk ukuran sudut yang lebih kecil adalah sebagai berikut:

1g1dgr10cgr10mgr====10dgr(dibaca 10 decigrad)10cgr(dibaca 10 centigrad)10mgr(dibaca 10 miligrad)10dmgr(dibaca 10 decimiligrad)

Sistem Seksagesimal

Berdasarkan hasil penggalian situs purbakala di lembah Mesopotamia (sekarang termasuk daerah Irak), diketahui bahwa bangsa Babilonia telah memiliki ilmu pengetahuan yang tinggi. Apabila kita sekarang pada umumnya menggunakan bilangan berbasis 10, pada masa itu bangsa Babilonia menggunakan bilangan berbasis 60. Mereka membagi satu putaran penuh menjadi 360 bagian yang sama.

1∘=1360keliling lingkaran=1360×1 putaran=1360 putaran

Dalam sistem ini, 1 derajat dibagi menjadi 60 bagian yang sama, dimana setiap bagian tersebut dinamakan satu menit. Selanjutnya, satu menit dibagi menjadi 60 bagian yang sama, dan setiap bagian tersebut dinamakan satu detik.
Lebih lanjut, menit disimbolkan dengan dengan ' dan detik disimbolkan dengan ''.

1∘=60'1'=60''⇒1∘=60'=60×60''=3.600''

Contoh 1: Nyatakan 65,8° dalam derajat, menit , dan detik!
Penyelesaian:

65,83∘====65∘+(0,83)∘65∘+(0,83×60')65∘+49,8'65∘+49'+0,8'          =65∘+49'+(0,8×60'')                    ==65∘+49'+48"65∘49'48"

Sistem Radian

Ukuran sudut selain derajat adalah ukuran radian. Dalam sistem radian, yang dimaksud dengan besar sudut satu radian adalah besar sudut pusat dari suatu lingkaran dimana panjang busur dihadapan sudut tersebut adalah sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.
Agar lebih jelas, mari kita perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas, pusat lingkaran adalah titik O, jari-jari lingkaran adalah r dan panjang busur BC adalah r.

∠BOC===(panjang busur BCpanjang jari−jari lingkaran)radian(rr)radian1 radian

Apabila ∠BOC = 180°, maka panjang busur BC sama dengan panjang setengah keliling lingkaran, yaitu πr.
Dengan demikian,

∠BOC===panjang busur BCpanjang jari−jari lingkaranπrrπ radian            =π rad

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa ∠BOC = 180° = π rad. Hubungan inilah yang nantinya digunakan untuk mengubah ukuran sudut dalam derajat ke dalam radian atau sebaliknya.

180∘=π rad⇔1∘=π180 rad ...(1)⇔1 rad=180∘π ...(2)

Perlu diketahui bahwa π = 22/7 ≈ 3,14.

Contoh 2: Ubahlah 2/3 π rad ke dalam ukuran derajat!
Penyelesaian:

23π rad=23π×180∘π=120∘

Contoh 3: Ubahlah 225° ke dalam ukuran radian!
Penyelesaian:

225∘=225×π180rad=54π rad

PENGELOMPOKAN SUDUT

Berdasarkan besar sudut, sudut dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu:

• Sudut lancip → besar sudut terletak antara 0° dan 90° atau antara 0 rad dan ½πrad
  
• Sudut tumpul → besar sudut tersebut terletak antara 90° dan 180° atau antara ½πrad dan πrad
• Sudut refleks → besar sudut tersebut terletak antara 180° dan 360° atau antara πrad dan 2πrad

PANJANG BUSUR dan LUAS SEKTOR

Pada bahasan di atas, kalian telah mengetahui hubungan antara derajat dan radian, selanjutnya mari kita lihat bagaimana rumusan panjang busur dan luas sektor dengan menggunakan kedua ukuran sudut tersebut.

Pada gambar di atas, sudut pusat lingkaran adalah ∠BOC = α.
Jika α dalam derajat, maka

panjang busur ABkeliling lingkaran⇔panjang busur AB2πr⇔panjang busur AB===α360∘α360∘α360∘×2πrluas juring AOBluas lingkaran⇔luas juring AOBπr2⇔luas juring AOB===α360∘α360∘α360∘×πr2

Jika α dalam radian, maka

panjang busur ABkeliling lingkaran⇔panjang busur AB2πr⇔panjang busur AB===α2πα2παrluas juring AOBluas lingkaran⇔luas juring AOBπr2⇔luas juring AOB===α2πα2πα2×r2

Contoh 3:
Tentukan panjang busur dan luas juring lingkaran apabila diketahui bahwa jari-jari lingkaran adalah 20 cm dan sudut pusatnya adalah 3 radian!
Penyelesaian:
Oleh karena r = 20 cm dan α = 3 rad, maka

(i)Panjang busur=αr=3×20=60 cm(ii)Luas juring=α2r2=32×20×20=600 cm2